Quadratische Gleichungen lösen
Umstellen
Für Gleichungen der Form ($b = 0$; $c$ negativ):
\[0 = ax^2 - e\]kann man durch Umstellen die Lösungen berechnen:
\[ax^2 = e\] \[x^2 = \frac{e}{a}\] \[x = \pm \sqrt{\frac{e}{a}}\]Beispiel
\[2x^2 - 18 = 0\] \[2x^2 = 18\] \[x^2 = 9\] \[x = \pm 3\]Ausklammern
Für Gleichungen der Form ($c = 0$):
\[0 = ax^2 + bx\]kann man durch Ausklammern die Lösungen berechnen:
\[x(ax + b) = 0\]Beispiel
\[3x^2 + 15x = 0\] \[x(3x + 15) = 0\] \[x_1 = 0\] \[x_2 = -5\]Satz von Vieta
Für Gleichungen mit einfachen Koeffizienten der Form:
\[0 = x^2 + px + q\]kann man mit dem Satz von Vieta die Lösungen bestimmen:
\[x_1 + x_2 = -p\] \[x_1 \cdot x_2 = q\]Beispiel
1. Gegeben:
\[x^2 - 2x - 3 = 0\]2. Koeffizienten ablesen:
- $p = -2$
- $q = -3$
3. In Satz von Vieta einsetzen:
\[x_1 + x_2 = 2\] \[x_1 \cdot x_2 = -3\]4. Werte bestimmen:
\[x_1 = -1\] \[x_2 = 3\]pq-Formel
Für Gleichungen der Form:
\[0 = x^2 + px + q\]lautet die pq-Formel:
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]