Quadratische Funktionen

Normalform

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]
  • $a$: Streckungs/Stauchungsfaktor; Spiegelung an der x-Achse, wenn negativ
  • $c$: y-Achsenabschnitt

Scheitelpunktform

\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]
  • $a$: Streckungs/Stauchungsfaktor; Spiegelung an der x-Achse, wenn negativ
  • $d$: x-Koordinate des Scheitelpunkts (Achtung: Vorzeichen beachten!)
  • $e$: y-Koordinate des Scheitelpunkts

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln (Quadratische Ergänzung)

Gegeben:

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]

1. $a$ ausklammern:

\[f(x) = a \left( x^2 + \frac{b}{a} \cdot x \right) + c\]

2. Quadratische Ergänzung durchführen:

\[f(x) = a \left( x^2 + \frac{b}{a} \cdot x + \left( 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 - \left( 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 \right) + c\]

3. Klammern auflösen (binomische Formel):

\[f(x) = a \left[ \left( x + 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 - a \cdot \left( 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 \right] + c\]

4. Klammern auflösen:

\[f(x) = a \cdot \left( x + 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 - a \cdot \left( 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 + c\]

5. Scheitelpunktform aufstellen:

\[f(x) = a \cdot \left( x + 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 + \left( c - a \cdot \left( 0,5 \cdot \frac{b}{a} \right)^2 \right)\]

Beispiel