Quadratische Funktionen

Normalform

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]
  • $a$: Streckungs/Stauchungsfaktor; Spiegelung an der x-Achse, wenn negativ
  • $c$: y-Achsenabschnitt

Scheitelpunktform

\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]
  • $a$: Streckungs/Stauchungsfaktor; Spiegelung an der x-Achse, wenn negativ
  • $d$: x-Koordinate des Scheitelpunkts (Achtung: Vorzeichen beachten!)
  • $e$: y-Koordinate des Scheitelpunkts

Faktorisierte Form

\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
  • $a$: Streckungs/Stauchungsfaktor; Spiegelung an der x-Achse, wenn negativ
  • $x_1$, $x_2$: Nullstellen der Funktion

Umformen

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln (Quadratische Ergänzung)

Gegeben (Beispiel):

\[f(x) = 1.5x^2 + 6x + 5\]

1. $a$ ($1.5$) ausklammern:

\[f(x) = 1.5 \left( x^2 + 4x \right) + 5\]

2. Quadratische Ergänzung durchführen:

\[f(x) = 1.5 \left( x^2 + 4x + \left( \frac{4}{2} \right) ^2 - \left( \frac{4}{2} \right) ^2 \right) + 5\]

3. Klammern auflösen (binomische Formel):

\[f(x) = 1.5 \left[ \left( x + 2 \right)^2 - 4 \right] + 5\]

4. Klammern auflösen:

\[f(x) = 1.5 \left( x + 2 \right)^2 - 6 + 5\]

5. Scheitelpunktform aufstellen:

\[f(x) = 1.5 \left( x + 2 \right)^2 - 1\]

Nullstellen berechnen

Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen

  1. Funktionen gleichsetzen
  2. Beide Terme auf eine Seite bringen, sodass eine Gleichung der Form \(0 = ax^2 + bx + c\) entsteht
  3. Gleichung lösen (es können 0/1/2 Lösungen entstehen)
  4. $x$-Wert(e) in eine der beiden Funktionen einsetzen, um $y$ zu berechnen
  5. Schnittpunkt(e) angeben: \(S(x, y)\)